Kāpēc negatīvo skaitļu reizināšana ir pamatota?

Tu kā sengrieķu filozofs un matemātiķis esi izsecinājis – lai negatīvu un pozitīvu skaitļu reizināšana saskanētu ar visu citu, ko līdz šim zini par matemātiku, lai tā saskanētu ar pārējām tev zināmajām reizināšanas īpašībām, negatīva skaitļa reizinājumam ar pozitīvu skaitli vai otrādi ir jābūt negatīvam, savukārt negatīva skaitļa reizinājumam ar negatīvu skaitli ir jābūt pozitīvam. Tu pieņem, ka tik tālu viss saskan, bet tev gribētos vēl labāk saprast, kāpēc tā. Sajūtu līmenī saprast, kāpēc tas tā ir, nevis vienkārši pieņemt, ka tas saskan ar sadalāmības un citām īpašībām. Tāpēc tu veic vēl vienu domu eksperimentu: kas notiek parastas reizināšanas gadījumā? Piemēram, 2 reiz 3. Viens no veidiem, kā saprast reizināšanu, ir atkārtota saskaitīšana. To var iztēloties kā 2 trijniekus – 2 trijnieki būtu burtiski 3 plus 3, un ievēro, ka trijnieki šeit ir 2. Otrs variants ir iztēloties šo kā 3 divniekus, un tas būs tas pats, kas 2 plus 2, plus 2. Šajā gadījumā mums ir 3 divnieki. Abos variantos iegūstam vienu un to pašu rezultātu. Atbilde ir 6. Labi, šo tu jau zināji, pirms sākām strādāt ar negatīviem skaitļiem. Tagad vienam no reizinātājiem pieliksim mīnus zīmi un paskatīsimies, kas notiek. Izrēķināsim, cik ir 2 reiz mīnus 3. Mīnus 3 rakstīšu ar citu krāsu – 2 reiz mīnus 3. Viens no variantiem ir rīkoties līdzīgi kā augšā – tas ir 2 reizes pa mīnus 3. Tātad mīnus 3 – mēģināšu izmantot atbilstošas krāsas – mīnus 3 un tad vēlreiz mīnus 3 jeb mīnus 3 mīnus 3. Otrs variants – un šis ir interesanti – te augšā mums bija 2 reiz plus 3 un mēs saskaitījām 3 divniekus. Bet šeit mums ir 2 reiz mīnus 3, tāpēc varam 3 reizes atņemt 2. Te augšā mēs būtu varējuši rakstīt plus 2, plus 2, plus 2, jo šis 3 bija pozitīvs skaitlis. Taču šeit mums ir mīnus 3, tāpēc varam 3 reizes atņemt 2. Tātad šeit varam rakstīt mīnus 2, vēlreiz mīnus 2 un tad vēlreiz mīnus 2. Sakārtošu krāsas, lai visas zīmes ir vienādas. Tātad vēlreiz mīnus 2. Ievēro, ka arī šeit atņēmām 3 reizes pēc kārtas. Tātad šeit ir mīnus 3, tāpēc te mēs 3 reizes atņemam 2. Gan vienā, gan otrā variantā mēs nonākam pie mīnus 6. Atbilde ir mīnus 6. Nu jau tu vari justies drošāk par šo daļu – par to, ka negatīva skaitļa reizinājums ar pozitīvu skaitli vai otrādi būs negatīvs skaitlis. Tagad apskatīsim to, ko intuitīvi saprast ir grūtāk – divu negatīvu skaitļu reizinājumam, kas pēkšņi kļūst pozitīvs. Kāpēc tā? Varam tālāk attīstīt šo pašu piemēru. Šoreiz ņemsim mīnus 2 – rakstīšu to ar citu krāsu – šoreiz ņemsim mīnus 2 – šo krāsu es jau izmantoju citur – mīnus 2 reiz mīnus 3 – reiz mīnus 3. Šoreiz sāksim ar šo pusi. Arī šoreiz mēs reizinām ar mīnus 3, tātad mēs atkārtoti kaut ko atņemsim 3 reizes pēc kārtas. Taču šoreiz tas nav plus 2, šoreiz mēs 3 reizes atņemsim mīnus 2. Paskaidrošu vēlreiz – šis norāda, ka mēs kaut ko atņemsim 3 reizes. Tātad mīnus kaut kas, mīnus kaut kas un vēlreiz mīnus kaut kas. To mums parāda šī te daļa, un mēs to darīsim 3 reizes. Šeit augšā mēs 3 reizes atņēmām plus 2, taču šeit lejā mēs atņemam mīnus 2. Un no negatīvu skaitļu atņemšanas mēs zinām, ka atņemt negatīvu skaitli ir tas pats, kas atbrīvot kādu no parāda, tas ir tas pats, kas pieskaitīt pozitīvu skaitli. Tāpēc šis būs tas pats, kas 2 plus 2, plus 2, un galarezultātā mums atkal būs plus 6. To pašu domu gājienu varam izmantot arī šeit. Tā vietā, lai 2 reizes saskaitītu mīnus 3 – un šo mēs varējām pierakstīt arī kā – šo mēs varējām pierakstīt arī šādi – mīnus 3 un mīnus 3, kurus mēs saskaitām. Skaidrības labad arī te pielikšu plus zīmi. Tātad šeit mēs 2 reizes saskaitījām – mēs 2 reizes saskaitījām mīnus 3. Savukārt te mums ir mīnus 2, tāpēc šoreiz mēs 2 reizes atņemsim mīnus 3. Tātad mēs kaut ko atņemsim vienreiz un kaut ko atņemsim otrreiz. Un šis kaut kas šajā gadījumā ir mūsu mīnus 3. Tātad mīnus te un mīnus te, un liekam savu trijnieku. Atkal atceramies, ka atņemt negatīvu skaitli ir tas pats, kas atbrīvot kādu no parāda un iedot viņam naudu, tātad šis būs tas pats, kas saskaitīt 3 plus 3, un galarezultātā atkal ir 6. Tagad tu kā sengrieķu filozofs vari justies visai pārliecināts. Šis saskan ar visiem tev jau zināmajiem matemātikas principiem – sadalāmības īpašību, asociatīvo īpašību, reizināšanas principiem. Tagad tu arī labāk saproti, kāpēc tas tā ir un ka tas saskan ar to, ko zini par reizināšanu kā atkārtotu saskaitīšanu.