Kāpēc negatīvs reiz negatīvs ir pozitīvs?

Pieņemsim, ka tu esi sengrieķu filozofs, kurš veido matemātiku no pašiem pamatiem. Un tev jau ir gana labs priekšstats par to, ko nozīmē negatīvs skaitlis, un tu zini, kā tādus saskaitīt un atņemt. Bet nu tavā priekšā ir jauns uzdevums – kas notiek, ja negatīvus skaitļus sareizina? Ja sareizina vai nu pozitīvu skaitli ar negatīvu, vai arī divus negatīvus skaitļus? Piemēram, tev nav īsti skaidrs, kas notiek, ja sareizina – un te es vienkārši izvēlos vienu pozitīvu un vienu negatīvu skaitli – kas notiek, ja sareizina 5 ar mīnus 3. Tu vēl to īsti nezini. Tu arī īsti nezini, kas notiek, ja sareizina divus negatīvus skaitļus, piemēram, mīnus 2 reiz mīnus 6. Arī to tu īsti nezini. Bet, tā kā tu esi matemātiķis, tad zini – lai vai kā šo definētu, lai vai kāds būtu rezultāts, tam vajadzētu saskanēt ar tev jau zināmajām matemātiskajām īpašībām, kā arī ar pārējām reizināšanas īpašībām. Tad tu būtu drošs, ka esi izrēķinājis pareizi. Vēlāk padomāsim arī par citiem veidiem, kā intuitīvi risināt šādus uzdevumus un kāpēc tādi risinājumi ir pareizi. Bet, lai nodrošinātu, ka tie atbilst pārējiem matemātikas principiem, ir jāveic neliels domu eksperiments. Mēs varētu noskaidrot, cik sanāk, ja 5 pareizinām ar 3 plus mīnus 3. Tu jau zini, kā saskaitīt un atņemt pozitīvus un negatīvus skaitļus, un tu zini, ka mīnus 3 ir plus 3 pretējais skaitlis, tātad, saskaitot 3 un mīnus 3, rezultāts būs 0. Tātad šī izteiksme būs vienāda ar 5 reiz 0 – 5 reiz 0 –, balstoties uz to, ko zini par negatīvu un pozitīvu skaitļu saskaitīšanu. Un jebkas, ko pareizinām ar 0, būs 0, tātad šī izteiksme būs vienāda ar 0. Bet mēs gribam, lai pozitīvu un negatīvu skaitļu reizināšana saskanētu arī ar sadalāmības īpašību, tāpēc šo 5 vajadzētu spēt sadalīt. Lai tiktu ievēroti pārējie mums zināmie matemātikas principi – un tie ir jāievēro –, mums vajadzētu iegūt tādu pašu atbildi. Tāpēc sadalīsim šo 5. Tas tātad būs 5 reiz 3 – pierakstīsim to soli pa solim un liekam te reizināšanas zīmi – ar 5 reiz 3 būsim sadalījuši šo daļu, plus 5 reiz mīnus 3 – šo daļu rakstīšu ar dzeltenu – 5 reiz mīnus 3. Un visai šai izteiksmei ir jābūt vienādai ar 0. Tai jābūt vienādai ar 0. 5 reiz 3 daļā mēs reizinām divus pozitīvus skaitļus un zinām, ka tas ir 15. Tātad izteiksmei 15 plus šis 5 reiz mīnus 3 – plus 5 reiz mīnus 3 – tam visam jābūt vienādam ar 0, lai tas atbilstu pārējiem mums zināmajiem matemātikas principiem. Kas jāpieskaita skaitlim 15, lai iegūtu 0? Skaitlim 15 pretējs skaitlis. Lai izteiksme atbilstu pārējiem matemātikas principiem, šai daļai ir jābūt vienādai ar mīnus 15. Tātad šim 5 reiz mīnus 3 – lai ievērotu pārējos matemātikas principus – ir jābūt vienādam ar mīnus 15. Tas saskan arī ar intuitīvo atbildi, pie kuras nonākam, ja 5 reizes pēc kārtas saskaitām mīnus 3. Mazliet grūtāk varētu būt saprast, kas notiek, kad sareizinām divus negatīvus skaitļus, bet varam veikt tādu pašu domu eksperimentu. Mēs gribam, lai iegūtā atbilde saskanētu ar pārējiem mums zināmajiem matemātikas principiem, tāpēc veiksim tādu pašu domu eksperimentu. Ar ko būs vienāds mīnus 2 reiz 6 plus mīnus 6? 6 plus mīnus 6 būs vienāds ar 0. Mīnus 2 reiz 0 – jebkas, ko pareizinām ar 0 – būs vienāds ar 0. Bet arī šeit mēs varam izmantot sadalāmības īpašību. Mēs varam sadalīt mīnus 2 reiz 6 – mīnus 2 reiz 6 – un pieskaitīt tam mīnus 2 reiz mīnus 6 – plus mīnus 2 reiz mīnus 6. Un visa šī izteiksme atkal būs vienāda ar 0. Ņemot vērā iepriekšējo domu eksperimentu, šim jābūt vienādam ar mīnus 12. Atceramies, ka šis nozīmē paiet uz skaitļu taisnes pa kreisi 2 reizes pa 6 soļiem, līdz nonākam pie mīnus 12. Arī tad, ja 6 reizes saskaitīsim mīnus 2, mēs nonāksim līdz mīnus 12. Un šeit mēs redzējām, ka, sareizinot pozitīvu un negatīvu skaitli, rezultātā iegūst negatīvu skaitli. Tātad šis būs vienāds ar mīnus 12, un mums ir mīnus 12 plus šī daļa, lai vai cik tur sanāktu, un tam visam kopā ir jābūt vienādam ar 0, lai būtu ievēroti pārējie mums zināmie matemātikas principi. Un kas jāpieskaita mīnus 12, lai rezultātā iegūtu 0? Ir jāpieskaita plus 12. Tātad šai daļai ir jābūt vienādai ar plus 12, lai būtu ievēroti pārējie mums zināmie matemātikas principi. Un tādējādi mēs nonākam pie secinājuma, ka šis ir vienāds ar plus 12. Tas arī šoreiz viss, padomāšu vēl par citiem video, kas palīdzētu saprast, kāpēc šīs izteiksmes ir patiesas.